• Equação Original

A forma original, que é para um fluxo incompressível sob um campo gravitacional uniforme (como o encontrado na Terra em pequenas altitudes), é:

 ou 

 = velocidade do fluido ao longo do conduto

 = aceleração da gravidade

 = altura com relação a um referencial

 = pressão ao longo do recipiente

 = massa específica do fluido

As seguintes convenções precisam ser satisfeitas para que a equação se aplique:

• Escoamento sem viscosidade (“fricção” interna = 0)
• Escoamento em estado estacionário
• Escoamento incompressível ( constante em todo o escoamento)
• Geralmente, a equação vale a um conduto como um todo. Para fluxos de potencial de densidade constante, ela se aplica a todo o campo de fluxo.

A redução na pressão que ocorre simultaneamente com um aumento na velocidade, como previsível pela equação, é frequentemente chamado de princípio de Bernoulli.
A equação é dedicada a Daniel Bernoulli, embora tenha sido apresentada pela primeira vez da forma como está aí por Leonhard Euler.

• Equação para fluídos compreensíveis

Uma segunda forma mais geral da equação de Bernoulli pode ser escrita para fluidos compressíveis:

Aqui,  é a energia potencial gravitacional por unidade de massa, que vale apenas  no caso de um campo gravitacional uniforme, e  é a entalpia do fluido por unidade de massa. Observe que  onde  é a energia termodinâmica do fluido por unidade de massa, também conhecida como energia interna específica ou sie.
A constante no lado direito da equação é frequentemente chamada de constante de Bernoulli e indicada pela letra “b”. Para o escoamento adiabático sem viscosidade e sem nenhuma fonte adicional de energia, “b” é constante ao longo de todo o escoamento. Mesmo nos casos em que “b” varia ao longo do conduto, a constante ainda prova-se bastante útil, porque está relacionada com a carga de pressãono fluido.
Quando uma onda de choque está presente, deve-se notar que um referencial move-se conjuntamente (comove-se) com uma onda de choque, muitos dos parâmetros envolvidos na equação de Bernoulli sofrem grandes modificações ao passar pela onda de choque. A constante de Bernoulli, porém, não se altera. A única exceção a essa regra são os choques radioativos, que violam as convenções que levam à equação de Bernoulli, como a falta de vazões ou fontes de energia.

• Dedução

Vamos começar com a equação de Bernoulli para fluidos incompressíveis.
A equação pode ser obtida pela integração das equações de Euler, ou pela aplicação da lei da conservação da energia em duas seções ao longo da corrente, e desprezando a viscosidade, a compressibilidade e os efeitos térmicos. Pode-se dizer que

o trabalho mecânico feito pelas forças no fluido + redução na energia potencial = aumento na energia cinética.

O trabalho feito pelas forças é

A diminuição da energia potencial é

O aumento na energia cinética é

Juntando tudo, tem-se que

ou

Depois da divisão por ,  e  (= vazão =  já que o fluido é incompressível), encontra-se:

ou  (como dito na Introdução).
A divisão adicional por g implica

Uma massa em queda livre de uma altura h (no vácuo), alcançará uma velocidade

 ou .

O termo  é chamado de altura de aceleração ou carga de aceleração.
A pressão hidrostática, carga estática ou altura estática é definida como

 ou .

O termo  é também chamado de altura de pressão ou carga de pressão.
Uma maneira de ver como isto se relaciona com a conservação de energia diretamente é pela multiplicação pela densidade e volume unitário (que é permitido, já que ambos são constantes), resultando em:

 e

A dedução para fluidos compressíveis é similar. Novamente, a dedução depende da (1) conservação da massa e (2) da conservação da energia.
A conservação da massa implica que no desenho acima, no intervalo de tempo , a quantidade de massa que passa pela fronteira definida pela área  é igual à quantidade de massa que passa por fora da fronteira definida pela área :

.

Aplica-se a conservação da energia de uma maneira similar: assume-se que a mudança na energia do volume do duto limitado por  e  é totalmente devida à energia que entra ou sai por quaisquer uma dessas duas fronteiras. Claramente, em uma situação mais complicada como uma vazão de fluido acompanhada de radiação, a conservação de energia não é satisfeita. De qualquer forma, assuma que seja este o caso e que o fluxo está em estado estacionário, de forma que a mudança líquida de energia é zero; temos que

onde  e  são a energia que entra através de  e que sai por , respectivamente.
A energia entrando por  é a soma da energia cinética afluente, da energia afluente na forma de energia potencial gravitacional, da energia termodinâmica do fluido afluente e da energia afluente na forma de trabalho mecânico :

Uma expressão similar para  pode ser construída facilmente. Fazendo agora , obtemos

Reescrevendo:

Agora, usando o resultado obtido anteriormente a partir da conservação da massa, isto pode ser simplificado de forma a se obter

que é a solução procurada.

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