O melhor das engenharias
BDE News

Assine a nossa newsletter

Digite o seu e-mail para receber a nossa newsletter.

Não se preocupe, não fazemos SPAM
Categorias

Equação de Bernoulli

O princípio de Bernoulli afirma que para um fluxo sem viscosidade, um aumento na velocidade do fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição na pressão ou uma diminuição na energia potencial do fluido. A equação foi nomeada como Bernoulli em homenagem ao matemático neerlandês-suiço Daniel Bernoulli que publicou o seu princípio, em seu livro Hydrodynamica em 1738.
Há basicamente duas formulações, uma para fluidos perfeitos e outra para fluidos reais.

  • Equação Original

A forma original, que é para um fluxo incompressível sob um campo gravitacional uniforme (como o encontrado na Terra em pequenas altitudes), é:

 { v^2 over 2 } + gh + { p over rho } = mbox{constante}  ou  { rho  v^2 over 2 } + rho gh + { p } = mbox{constante}
v = velocidade do fluido ao longo do conduto
g = aceleração da gravidade
h = altura com relação a um referencial
p = pressão ao longo do recipiente
rho = massa específica do fluido

As seguintes convenções precisam ser satisfeitas para que a equação se aplique:

  • Escoamento sem viscosidade (“fricção” interna = 0)
  • Escoamento em estado estacionário
  • Escoamento incompressível (rho constante em todo o escoamento)
  • Geralmente, a equação vale a um conduto como um todo. Para fluxos de potencial de densidade constante, ela se aplica a todo o campo de fluxo.

A redução na pressão que ocorre simultaneamente com um aumento na velocidade, como previsível pela equação, é frequentemente chamado de princípio de Bernoulli.
A equação é dedicada a Daniel Bernoulli, embora tenha sido apresentada pela primeira vez da forma como está aí por Leonhard Euler.

  • Equação para fluídos compreensíveis

Uma segunda forma mais geral da equação de Bernoulli pode ser escrita para fluidos compressíveis:

{ v^2 over 2 } + phi + w = mbox{constante}

Aqui, phi é a energia potencial gravitacional por unidade de massa, que vale apenas phi = gh no caso de um campo gravitacional uniforme, e w é a entalpia do fluido por unidade de massa. Observe que w = epsilon + {p over rho} onde epsilon é a energia termodinâmica do fluido por unidade de massa, também conhecida como energia interna específica ou sie.
A constante no lado direito da equação é frequentemente chamada de constante de Bernoulli e indicada pela letra “b”. Para o escoamento adiabático sem viscosidade e sem nenhuma fonte adicional de energia, “b” é constante ao longo de todo o escoamento. Mesmo nos casos em que “b” varia ao longo do conduto, a constante ainda prova-se bastante útil, porque está relacionada com a carga de pressãono fluido.
Quando uma onda de choque está presente, deve-se notar que um referencial move-se conjuntamente (comove-se) com uma onda de choque, muitos dos parâmetros envolvidos na equação de Bernoulli sofrem grandes modificações ao passar pela onda de choque. A constante de Bernoulli, porém, não se altera. A única exceção a essa regra são os choques radioativos, que violam as convenções que levam à equação de Bernoulli, como a falta de vazões ou fontes de energia.

  • Dedução

Vamos começar com a equação de Bernoulli para fluidos incompressíveis.
A equação pode ser obtida pela integração das equações de Euler, ou pela aplicação da lei da conservação da energia em duas seções ao longo da corrente, e desprezando a viscosidade, a compressibilidade e os efeitos térmicos. Pode-se dizer que

o trabalho mecânico feito pelas forças no fluido + redução na energia potencial = aumento na energia cinética.

O trabalho feito pelas forças é

F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_<br /><br /><br /><br />
{1}Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}Delta t. ;

A diminuição da energia potencial é

m g h_{1}-m g h_{2}=rho g A<br /><br /><br /><br />
_{1} v_{1}Delta t h_{1}-rho g A_{2} v_{2} Delta<br /><br /><br /><br />
t h_{2}. ;

O aumento na energia cinética é

frac{1}{2} m v_{2}^{2}-frac{1}{2} m v_{1}^{2}=frac{1}{2}rho A_{2} v_{2}Delta t v_{2}<br /><br /><br /><br />
^{2}-frac{1}{2}rho A_{1} v_{1}Delta t v_{1}^{2}.

Juntando tudo, tem-se que

p_{1} A_{1} v_{1}Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}Delta t+rho g A_{1} v_{1}Delta t h_{1}-rho g A_{2} v_{2}Delta t h_{2}=frac{1}{2}rho A_{2} v_{2}Delta t v_{2}^{2}-frac{1}{2}rho A_{1} v_{1}Delta t v_{1}^{2}

ou

frac{rho A_{1} v_{1}Delta t v_{1}^{<br /><br /><br /><br />
2}}{2}+rho g A_{1} v_{1}Delta t h_{1}+p_{1} A_{1<br /><br /><br /><br />
} v_{1}Delta t=frac{rho A_{2} v_{2}Delta t v_{<br /><br /><br /><br />
2}^{2}}{2}+rho g A_{2} v_{2}Delta t h_{2}+p_{2}<br /><br /><br /><br />
A_{2} v_{2}Delta t.

Depois da divisão por Delta trho e A_{1} v_{1} (= vazão = A_{2} v_{2} já que o fluido é incompressível), encontra-se:

frac{v_{1}^{2}}{2}+g h_{1}+frac{p_{1}}{rho}=frac{v_{2}^{2}}{2}+g h_{2}+frac{p_{2}}{rho}

ou frac{v^{2}}{2}+g h+frac{p}{rho}=C (como dito na Introdução).
A divisão adicional por g implica

frac{v^{2}}{2 g}+h+frac{p}{rho g}=C.

Uma massa em queda livre de uma altura h (no vácuo), alcançará uma velocidade

v=sqrt{{2 g}{h}}, ou h=frac{v^{2}}{2 g}.

O termo frac{v^2}{2 g} é chamado de altura de aceleração ou carga de aceleração.
A pressão hidrostática, carga estática ou altura estática é definida como

p=rho  g  h ;! ou h=frac{p}{rho  g}.

O termo frac{p}{rho  g} é também chamado de altura de pressão ou carga de pressão.
Uma maneira de ver como isto se relaciona com a conservação de energia diretamente é pela multiplicação pela densidade e volume unitário (que é permitido, já que ambos são constantes), resultando em:

v^2 rho + P = mbox{constante} ;! e
mV^2 + P times mbox{volume} = mbox{constante} ;!

A dedução para fluidos compressíveis é similar. Novamente, a dedução depende da (1) conservação da massa e (2) da conservação da energia.
A conservação da massa implica que no desenho acima, no intervalo de tempo  Delta t , a quantidade de massa que passa pela fronteira definida pela área  A_1  é igual à quantidade de massa que passa por fora da fronteira definida pela área  A_2 :

 0 = Delta M_1 - Delta M_2 = rho_1 A_1 v_1 , Delta t - rho_2 A_2 v_2 , Delta t .

Aplica-se a conservação da energia de uma maneira similar: assume-se que a mudança na energia do volume do duto limitado por  A_1  e  A_2  é totalmente devida à energia que entra ou sai por quaisquer uma dessas duas fronteiras. Claramente, em uma situação mais complicada como uma vazão de fluido acompanhada de radiação, a conservação de energia não é satisfeita. De qualquer forma, assuma que seja este o caso e que o fluxo está em estado estacionário, de forma que a mudança líquida de energia é zero; temos que

 0 = Delta E_1 - Delta E_2 ;!

onde  Delta E_1  e  Delta E_2  são a energia que entra através de  A_1  e que sai por  A_2 , respectivamente.
A energia entrando por  A_1  é a soma da energia cinética afluente, da energia afluente na forma de energia potencial gravitacional, da energia termodinâmica do fluido afluente e da energia afluente na forma de trabalho mecânico  p,dV :

 Delta E_1 = left[  frac{1}{2} rho_1 v_1^2 + phi_1 rho_1 + epsilon_1 rho_1  + p_1 right] A_1 v_1 , Delta t

Uma expressão similar para  Delta E_2  pode ser construída facilmente. Fazendo agora  0 = Delta E_1 - Delta E_2 ;!, obtemos

 0 = left[  frac{1}{2} rho_1 v_1^2+ phi_1 rho_1 + epsilon_1 rho_1  + p_1 right] A_1 v_1 , Delta t  - left[ frac{1}{2} rho_2 v_2^2 + phi_2rho_2 + epsilon_2 rho_2  + p_2 right] A_2 v_2 , Delta t

Reescrevendo:

 0 = left[ frac{1}{2} v_1^2 + phi_1 + epsilon_1  + frac{p_1}{rho_1} right] rho_1 A_1 v_1 , Delta t  - left[  frac{1}{2} v_2^2  + phi_2 + epsilon_2  + frac{p_2}{rho_2} right] rho_2 A_2 v_2 , Delta t

Agora, usando o resultado obtido anteriormente a partir da conservação da massa, isto pode ser simplificado de forma a se obter

 frac{1}{2}v^2 + phi + epsilon + frac{p}{rho} = {rm mbox{constante} } equiv b

que é a solução procurada.

Total
0
Shares
Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

Postagens Relacionadas
pt_BRPortuguese