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Estratégia ao Integrar por Partes

porEduardo Cavalcanti
11 de março de 2013
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Dada a integral

[;int udv;]
o propósito de usar a técnica de integração por partes é transferir essa integral para uma integral a qual espera-se que saibamos calcular, ou seja:
[;int udv = uv - int vdu;]

Assim, ao integrar por partes uma integral da forma,

[;int f(x)g(x)dx;]
sempre devemos escolher quem será a função [;u;] entre as funções [;f(x);] e [;g(x);] do integrando acima. Surge a pergunta: “Como fazer esta escolha?”
Uma sugestão que funciona bem na maioria das vezes é escolher as funções [;u;] e [;v;] através do diagrama LIATE que foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revistaAmerican Mathematical Monthly que descreveremos abaixo.
Confira também a nossa tabela exclusiva de Integrais, Derivadas e Identidades Trigonométricas.

Considere o diagrama com as funções elementares abaixo:

LIATE
Nesse acróstico, as letras da palavra LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções e a estratégia que deve ser adotada é:
“Escolher como função [;u;], a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a diferencial [;dv;], escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E”.Vejamos alguns exemplos:
1) Na integral

[;int x cos x dx;]

escolhemos [;u = x;] (Algébrica) e [;dv = cos xdx;](Trigonométrica), pois no anagrama acima, A precede T.
2) Na integral

[;int x^2ln x dx;]

escolhemos [;u = ln x;] (Logarítmica) e [;dv = x^2 dx;] (Algébrica), pois L precede A no anagrama acima.
3) Na integral

[;int x arcsin x dx;]

escolhemos [;u = arcsin x;](Inversa trigonométrica) e[;dv = xdx;] (Algébrica).

Procure exercícios de integração por partes e verifique a validade deste belíssimo anagrama.
Observação: Na imagem acima, temos uma prova sem palavras da fórmula usada para integrar por partes.

Referência Bibliográfica: Notas de Aulas de Cálculo I do Prof. João Sampaio. DM/UFSCar; Fatos Matemáticos

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Colunista
Eduardo Cavalcanti
Engenheiro Civil, sócio e Head de Novos Negócios do Grupo JEMP, formado pela PUC Campinas | SP (2015), comprometido com a construção de sonhos em oportunidades disruptivas. Empresário apaixonado por design gráfico, viagens e café. Sócio-Proprietário na CHB Química (2019), responsável pela geração de valor em mercados em constante movimento. Empreendedor de inovações, criador do Blog de Engenharia, Blog da Arquitetura e Engenharia Depressão (2011) e da Bisnis HUB. Engajado com a missão de compartilhar o conhecimento. Palestrante visionário, acredita que paixão, persistência e consistência são os pilares para impactar positivamente a vida das pessoas no trabalho, no esporte e nos círculos sociais.
14 comentários

  7. Tô no 3° dia de Engenharia, não lembro de quase nada, na minha sala a maioria alunos de 19 a 26 anos, eu com 37 e uns 15 sem estudar…
    Quero logo pegar o ritmo e acompanhar a turma, sei que se ficar pra tras vou acabar desistindo…
    Como recomeçar a estudar? Por onde devo começar?

    Responder

    1. Ao término de todas as aulas, mesmo que chegue tarde em casa, sente e revise, mas tem que ser no dia em que matéria foi dada pois ela ainda está fresca, pois na sala de aula você não aprende, apenas concorda com o professor, isso é fato, pois quando você sai de uma aula cujo o tema é novo e tenta fazer um exercício, na maioria das vezes você não consegue, se no mesmo dia é complicado, imagina se deixar para estudar no dia, semana ou no mês seguinte?
      Então, chegue em casa e revise os conceitos, depois de revisar os conceitos, pratique novamente os exercícios dado pelo o professor, anote suas dúvidas e pergunte na próxima aula, não deixe de tirar suas dúvidas; se for manipulação algébrica, procure na internet, pois isto é questão de treino mesmo, mas se for interpretação ou conceito da matéria, fale com seu professor… já fui para várias provas com dúvidas bestas e acabei me saindo mal pois estas dúvidas seriam o estopim para resolver os exercícios.
      Infelizmente para quem trabalha é complicado, eu trabalho e durmo 3,5 hrs por dia, por isso te aconselho a chegar em casa e revisar, pois isso faz muita diferença.
      Engenharia é assim mesmo, é cansativo, mas o orgulho é demais no final!!!

      Responder

    2. Alfredo Almeida, faça um grupo de estudo com 5 pessoas no máximo e comessem a estudar. A idade não quer dizer nada. Tenho 53 anos e Faço Eng. de Controle e Automação. O grupo de estudo ajuda muito. Sempre estudamos todos os sábados das 14 h às 19 ou 20 h. Sei que o sacrifício é grande, mas vale a pena. Acabamos de passar para o 4º semestre sem ficar em nenhuma matéria. Sucesso. Abraços.

      Responder

  8. Uma boa ideia também para saber qual usar é escolher a função que diminua o grau. Exemplo: Integral (x²lnx dx), usando o x² como u, ao deriva-lo ele cairá de grau, o que facilitará a equação.

    Responder
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