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Estratégia ao Integrar por Partes

porEduardo Cavalcanti
11 de março de 2013

Dada a integral

[;int udv;]
o propósito de usar a técnica de integração por partes é transferir essa integral para uma integral a qual espera-se que saibamos calcular, ou seja:
[;int udv = uv - int vdu;]

Assim, ao integrar por partes uma integral da forma,

[;int f(x)g(x)dx;]
sempre devemos escolher quem será a função [;u;] entre as funções [;f(x);] e [;g(x);] do integrando acima. Surge a pergunta: “Como fazer esta escolha?”
Uma sugestão que funciona bem na maioria das vezes é escolher as funções [;u;] e [;v;] através do diagrama LIATE que foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revistaAmerican Mathematical Monthly que descreveremos abaixo.
Confira também a nossa tabela exclusiva de Integrais, Derivadas e Identidades Trigonométricas.

Considere o diagrama com as funções elementares abaixo:

LIATE
Nesse acróstico, as letras da palavra LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções e a estratégia que deve ser adotada é:
“Escolher como função [;u;], a função cuja letra inicial está mais próxima de L e para formar a diferencial [;dv;], escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E”.Vejamos alguns exemplos:
1) Na integral

[;int x cos x dx;]

escolhemos [;u = x;] (Algébrica) e [;dv = cos xdx;](Trigonométrica), pois no anagrama acima, A precede T.
2) Na integral

[;int x^2ln x dx;]

escolhemos [;u = ln x;] (Logarítmica) e [;dv = x^2 dx;] (Algébrica), pois L precede A no anagrama acima.
3) Na integral

[;int x arcsin x dx;]

escolhemos [;u = arcsin x;](Inversa trigonométrica) e[;dv = xdx;] (Algébrica).

Procure exercícios de integração por partes e verifique a validade deste belíssimo anagrama.
Observação: Na imagem acima, temos uma prova sem palavras da fórmula usada para integrar por partes.

Referência Bibliográfica: Notas de Aulas de Cálculo I do Prof. João Sampaio. DM/UFSCar; Fatos Matemáticos

Colunista
Eduardo Cavalcanti
Engenheiro Civil, sócio e Head de Novos Negócios do Grupo JEMP, formado pela PUC Campinas | SP (2015), comprometido com a construção de sonhos em oportunidades disruptivas. Empresário apaixonado por design gráfico, viagens e café. Sócio-Proprietário na CHB Química (2019), responsável pela geração de valor em mercados em constante movimento. Empreendedor de inovações, criador do Blog de Engenharia, Blog da Arquitetura e Engenharia Depressão (2011) e da Bisnis HUB. Engajado com a missão de compartilhar o conhecimento. Palestrante visionário, acredita que paixão, persistência e consistência são os pilares para impactar positivamente a vida das pessoas no trabalho, no esporte e nos círculos sociais.
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